Математика - царица всех наук!

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+9 ... Читать дальше »

Каким является число – - рациональным или иррациональным?

На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляет 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Найдите все решения уравнения: х2+5у2+4ху+2у+1=0 ... Читать дальше »

1. Представьте, если можно, в виде обыкновенной дроби число 0,22(15).



2. Решите уравнение: 2image.



3. Говядина без костей стоит 240 рублей за 1 кг. Говядина с костями - 208 руб./кг., а кости без говядины – 40 руб./кг. Сколько костей в 1 кг. говядин ... Читать дальше »

1.(2б) Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

Решение

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем мно ... Читать дальше »

Квадратные трехчлены x2 + px + q с целыми коэффициентами имеют целые корни и p + q = 30. Найдите все такие трёхчлены.
Найдите все значения a, для которых неравенство имеет хотя бы одно решение.
Дан прямоугольник со сторонами 3 и 4. Биссектрисы всех его углов, пере-секаясь попарно, обра ... Читать дальше »

1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.

Задача 1. Решите уравнение:

.

Решение:

Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:

;
... Читать дальше »

1. Найдите три последние цифры суммы

1! + 2! + 3! + ... + 1998!

2. Найдите все натуральные числа n, при которых уравнение

х2 - 7nх + 150 = 0

имеет два целых корня.

3. Точки A2 , B2 и C2 – середины высот AA1 , BB1 и CC1 остроугольного т ... Читать дальше »

№1

Найдите производную функции:



10 баллов

№2

Решить неравенство:



15 баллов

№3

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ... Читать дальше »

В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у ... Читать дальше »

1. Выберите один правильный ответ.

1) К эукариотическим относятся клетки

а) клубеньковых бактерий б) цианобактерий

в) растений г) кишечной палочки

2) В систематике животных классы объединяются в

а) типы б) роды в) семейства г) отряды < ... Читать дальше »

Газ и раствор вещества, в котором приобретает малиновую окраску фенолфталеин, образуется при взаимодействии:

а) воды с оксидом цинка б) цинка с соляной кислотой

в) воды с натрием г) серной кислоты с сульфидом натрия

Бромную воду не обесцвечивают вещества, указа ... Читать дальше »

1). Борис Немцов как-то сказал, что квартплата увеличится за год в среднем на 15%, так как сейчас граждане оплачивают только 35% стоимости содержания жилья, а через год будут оплачивать 50%. На сколько процентов на самом деле увеличится квартплата?

2). Решите неравенство:

3 ... Читать дальше »

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения равна 3? (7баллов)
Сумма десяти первых членов арифметической пр ... Читать дальше »

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?



Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 ... Читать дальше »

Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе

Решите уравнение

В ответе укажите целый корень. (2б)

Решение:



Ответ:1.

Решите систему уравнений

(2б)

Решен ... Читать дальше »

Докажите, что для любых чисел a, b, c, принадлежащих отрезку [0, 1], выполните неравенство

(a + b + c + 1)2 4(a2 + b2 + c2).

Решить систему уравнений

В окружность с центром О вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстоя ... Читать дальше »

1. Используя основное свойство дроби, упростите выражение:

а) ; б) (a  0, b  0)

2. Решите задачу.

Вчера число учеников, присутствующих на уроках, было в 8 раз больше числа отсутствующих. Сегодня не пришли еще два человека, и оказалось, что число отсутствующих ... Читать дальше »

№1

Решите уравнение:

х6 – 2х5 – 2х4 + 6х3 – 7х2 + 8х – 4 = 0

10 баллов

№2

Задача. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличилось на 4 и, кроме того, в зале добавился ещё один ряд. Сколько стал ... Читать дальше »

Сократить дробь: .

(2б)

Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

(2б)

Докажите, что если сум ... Читать дальше »

1. Решить уравнение ( х 2 + 6 х - 4)( х 2 + 6 х - 3) = 12

2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе — с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса тако ... Читать дальше »

9 класс

1. (4) Известно, что а = 32010 + 2. Верно ли, что а2 + 2 – простое число? Ответ обоснуйте.

2. (4) Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?

3. (3) Найдите, какую цифру обозначает каждая буква в следующем рав ... Читать дальше »

1.Покупатель взял у продавца товара на 10 рублей и дал 25 рублей. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушел, сосед обнаружил, что 25 рублей фальшивые. Продавец вернул соседу 25 рублей и задумался. Какой убыток понес продавец?

2. ... Читать дальше »

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого с ... Читать дальше »

9 класс

Вариант №1

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 … 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся ... Читать дальше »

Найти все решения в натуральных числах уравнения x y z 2 2 2 .

Несколько рабочих выполняют работу за 14 дней. Если бы их было на 4 человека больше и каждый работал в день на 1 час дольше, то та же работа была бы сделана за 10 дней. Если же их было бы ещѐ на 6 человек больше и каждый раб ... Читать дальше »

Задача 1 Четыре источника

Из-под земли бьют четыре источника.
Первый заполняет бассейн за один день, второй – за два дня, третий – за три дня, четвертый – за 4 дня.
За какое время наполнят бассейн все четыре источника?

Задача 2 Брат и сестра

Два г ... Читать дальше »

№1

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

№2

Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

№3

Работник заключил контракт на меся ... Читать дальше »

Задача 1. В волшебном саду выросло 2013 яблок. Сколько в этом саду яблонь, если на каждой яблони яблок выросло поровну и в этом саду все яблони разного сорта, которых меньше 30, но больше 10. (7б)

Задача 2. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ADM. Отрезок CM пересекает отрезок ... Читать дальше »

Задача 1.

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук мен ... Читать дальше »